416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

示例 1:

输入:nums = [1,5,11,5]
输出:true
解释:数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]

示例 2:

输入:nums = [1,2,3,5]
输出:false
解释:数组不能分割成两个元素和相等的子集。

算法思路:

用回溯算法,首先求数组的总和,如果不是偶数或者数组长度为 1 则无法成功分割;对于数组中的每个元素,考虑选与不选两种情况,进行递归。递归方法的参数有:idx(待考虑元素的下标),sum(已经选出来的总和),target(目标和,在此题目中则为总和一半)以及该数组和长度。
递归出口:

  • 如果 sum 等于 target,说明成功,直接返回 true
  • 如果 sum 大于 target,说明失败,直接返回 false
  • 如果 idx 大于等于 n,说明已考虑到最后一个仍未成功,直接返回 false
  • 否则,则考虑选和不选

优化: 通过定义一个二维数组表示备忘录,减少重复考虑,mem[i][j] 表示对于第 i 个数且已选出来的总和为 j ,是否已经考虑过了(用 1 表示已经考虑过了【是不成功的】,为 1 则 直接返回 false)

代码实现:

public class Q0416PartitionEqualSubsetSum {
    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Q0416PartitionEqualSubsetSum().new Solution();
        int[] nums = {100, 100, 100, 99, 97};
        System.out.println(solution.canPartition(nums));
    }

    class Solution {
        public boolean canPartition(int[] nums) {
            int len = nums.length;
            int sum = Arrays.stream(nums).sum();
            if (sum % 2 != 0 || len <= 1) return false;
            return dfs(0, 0, sum / 2, nums, len);
        }

        // 备忘录
        int[][] mem = new int[201][20001];
    
        // 变量:idx sum path
        // 不变量:target  nums  n
        public boolean dfs(int idx, int sum, int target, int[] nums, int n) {
            if (sum >= target) return sum == target;
            // 已经选过了,并且是失败的直接返回 false
            if (mem[idx][sum] != 0) return false; 
            if (idx >= n) return false;
            boolean p;
            // 不选
            p = dfs(idx + 1, sum, target, nums, n);
            // 选
            p = p || dfs(idx + 1, sum + nums[idx], target, nums, n);
            mem[idx][sum] = 1;
            return p;
        }
    }
}

用动态规划:

这道题可以转化为一个0-1背包问题。

二维DP

转移方程就是 dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int sum = Arrays.stream(nums).sum();
        if (sum % 2 != 0 || len <= 1) return false;
        return dpMethod(sum / 2, nums, len);
    }

    public boolean dpMethod(int target, int[] nums, int n) {
        // 01背包, dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为 j 的背包,最大的价值总和
        // target 相当于背包最大容量
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][target + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            // 容量为 0 说明不用再分隔,为 true
            dp[i][0] = true;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 物品
            for (int j = 1; j <= target; j++) { // 容量
                // 不选
                if (j < nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    // 选
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
}

一维DP

转移方程就是 dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int sum = Arrays.stream(nums).sum();
        if (sum % 2 != 0 || len <= 1) return false;
        return dpMethod2(sum / 2, nums, len);
    }

    // 一维 dp
    public boolean dpMethod2(int target, int[] nums, int n) {
        boolean[] dp = new boolean[target + 1];
        dp[0] = true;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 必须逆序,防止重复选
            for (int j = target; j >= 1; j--) {
                if (j >= nums[i]) {
                    dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

Q.E.D.


以无限为有限,以无法为有法